Pentagone : définition et caractéristiques géométriques
Un pentagone est un polygone à cinq côtés et cinq angles. Qu'il soit régulier, irrégulier, convexe ou concave, il appartient à la famille des polygones les plus étudiés en géométrie plane. Sa forme est omniprésente dans la nature, l'architecture et les mathématiques, notamment en raison de son lien remarquable avec le nombre d'or.
Définition et étymologie
Le mot pentagone vient du grec ancien pente (cinq) et gônia (angle). En géométrie euclidienne, un pentagone est donc tout polygone possédant exactement cinq sommets, cinq côtés et cinq angles intérieurs. La somme de ces cinq angles est toujours égale à 540°, quelle que soit la forme du pentagone, régulière ou non. Cette valeur se calcule par la formule générale applicable à tout polygone à n côtés : (n − 2) × 180°, soit ici (5 − 2) × 180° = 540°.
Les différents types de pentagones
Tous les pentagones ne se ressemblent pas. On distingue plusieurs catégories selon la régularité des côtés et la nature des angles.
Pentagone régulier
Un pentagone régulier est un pentagone dont les cinq côtés ont la même longueur et dont les cinq angles intérieurs sont égaux. Chaque angle intérieur mesure alors exactement 108°, et chaque angle extérieur 72°. C'est la forme que l'on évoque spontanément lorsqu'on parle de pentagone.
Pentagone irrégulier
Un pentagone irrégulier possède des côtés et/ou des angles de mesures différentes. La contrainte unique est que la somme des angles reste égale à 540°. Il existe une infinité de formes pentagonales irrégulières.
Pentagone convexe et concave
Un pentagone est dit convexe lorsque tous ses angles intérieurs sont inférieurs à 180° : la forme ne présente aucun « creux ». Il est dit concave (ou non convexe) lorsqu'au moins un angle dépasse 180°, créant une indentation visible. Le pentagramme, ou étoile à cinq branches, est une figure construite à partir d'un pentagone dont les côtés sont prolongés jusqu'à se croiser ; il ne s'agit pas à proprement parler d'un pentagone mais il lui est étroitement lié.
Propriétés du pentagone régulier
Le pentagone régulier présente des propriétés géométriques particulièrement riches, qui en font un objet d'étude central en mathématiques.
Symétries
Un pentagone régulier possède cinq axes de symétrie axiale, chacun passant par un sommet et le milieu du côté opposé. Il est également doté d'une symétrie rotationnelle d'ordre 5 : une rotation de 72° (soit 360° ÷ 5) autour de son centre le superpose à lui-même. Son groupe de symétrie est le groupe diédral D₅.
Diagonales et nombre d'or
Un pentagone à cinq sommets possède exactement cinq diagonales. Dans un pentagone régulier, ces diagonales présentent une propriété remarquable : le rapport de la longueur d'une diagonale à la longueur d'un côté est exactement égal au nombre d'or φ ≈ 1,6180…
De surcroît, lorsque les cinq diagonales se croisent à l'intérieur du pentagone, elles se divisent mutuellement dans des proportions dorées, générant un petit pentagone régulier en leur centre. Ce pentagone intérieur est lui-même orienté à 180° par rapport à l'original, et ses diagonales forment à leur tour un pentagone encore plus petit, et ainsi de suite à l'infini — une construction fractale naturelle.
Cercles inscrit et circonscrit
Tout pentagone régulier de côté c admet :
- Un cercle circonscrit (passant par les cinq sommets) de rayon
R = (c / 10) × √(50 + 10√5) - Un cercle inscrit (tangent aux cinq côtés) dont le rayon, appelé apothème, est donné par
a = c / (2 × tan 36°)
Calcul de l'aire
L'aire d'un pentagone régulier de côté c se calcule par :
A = (c² / 4) × √(25 + 10√5)
Pour un côté de 1 unité, l'aire est approximativement égale à 1,720 unité². On peut également exprimer l'aire en fonction de l'apothème a et du périmètre P : A = (P × a) / 2, formule commune à tous les polygones réguliers.
Construction à la règle et au compas
Le pentagone régulier est l'un des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas. Cette constructibilité, démontrée dans l'Antiquité grecque et formalisée par Carl Friedrich Gauss au XIXe siècle, tient au fait que le nombre de ses côtés (5) est un nombre premier de Fermat. La construction classique passe par la détermination préalable du nombre d'or, lui-même obtenu à la règle et au compas par bissection d'un segment.
Le pentagone dans la nature et la culture
La symétrie pentagonale est fréquente dans le vivant. Les échinodermes (étoiles de mer, oursins) présentent une symétrie d'ordre cinq caractéristique. De nombreuses fleurs, comme la rose ou la fleur de pomme, disposent leurs pétales selon une organisation pentagonale. En botanique, cette disposition est liée à la phyllotaxie et à la spirale de Fibonacci, elle-même intimement connectée au nombre d'or.
Dans l'architecture et la culture, le Pentagone — siège du département de la Défense des États-Unis à Arlington, en Virginie — tire son nom de la forme de son bâtiment à cinq façades, construit entre 1941 et 1943. Le pentagramme, figure dérivée du pentagone, a traversé les civilisations comme symbole religieux, mystique ou philosophique, des Pythagoriciens de l'Antiquité aux traditions hermétiques médiévales.
Questions fréquentes
Quelle est la somme des angles d'un pentagone ?
La somme des angles intérieurs d'un pentagone est toujours égale à 540°, qu'il soit régulier ou irrégulier. Cette valeur s'obtient par la formule (n − 2) × 180°, avec n = 5.
Combien de diagonales possède un pentagone ?
Un pentagone possède exactement 5 diagonales. Dans un pentagone régulier, chaque diagonale est dans un rapport égal au nombre d'or φ ≈ 1,618 par rapport à la longueur d'un côté.
Quelle est la différence entre un pentagone régulier et un pentagone irrégulier ?
Un pentagone régulier a ses cinq côtés de même longueur et ses cinq angles intérieurs identiques (108° chacun). Un pentagone irrégulier n'a pas cette contrainte ; ses côtés et ses angles peuvent varier librement, à condition que la somme des angles reste égale à 540°.
Quel est le lien entre le pentagone et le nombre d'or ?
Dans un pentagone régulier, le rapport entre la longueur d'une diagonale et la longueur d'un côté est exactement égal au nombre d'or φ ≈ 1,6180. De plus, les intersections des diagonales se divisent mutuellement selon ce même rapport, faisant du pentagone régulier l'une des figures géométriques les plus intimement liées au nombre d'or.
Comment calculer l'aire d'un pentagone régulier ?
L'aire d'un pentagone régulier de côté c est donnée par la formule A = (c² / 4) × √(25 + 10√5). Pour un côté de 1 unité, cela donne environ 1,720 unité carré. On peut aussi utiliser A = (périmètre × apothème) / 2.